“乘1法”：巧妙构造基本不等式求最值
在处理含有特定约束条件（如 \(ax+by=c\)）的最值问题时，直接套用基本不等式 \( a+b \ge 2\sqrt{ab} \) 往往很困难。此时，一个非常强大且优雅的技巧——“乘1法”——便能派上用场。其核心思想是，将目标式乘以一个值为“1”的代数式，从而拼凑出可以使用基本不等式的形式。
核心例题
我们通过下面两个经典的例题来掌握这个技巧。
问题1: 已知正数 \(x, y\) 满足 \(x + 2y - 1 = 0\)，且不等式 \(m \le \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) 对任意满足条件的正数 \(x, y\) 恒成立。则实数 \(m\) 的取值范围是 ______。
问题2: 已知 \(x > 0, y > 0\)，且 \(x + 4y = xy\)，则 \(x + y\) 的最小值为 ______。
前提回顾：基本不等式
对于任意正数 \(a, b\)，有 \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\)。等号当且仅当 \(a=b\) 时成立。这是我们后续所有计算的基础。
步骤1：构造“常数1”
解题的关键，是先将题目给出的约束条件巧妙地变形，得到一个值为 1 的表达式。这是“乘1法”的“1”的来源。
对于问题1：
对于问题2：
步骤2：核心技巧——“乘1法”
现在，我们将要求最值的目标式，乘以我们在上一步构造出的“1”。这一步的目的是拆开括号后，制造出形如 \( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \) 的互为倒数的项。
对于问题1，求 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) 的最小值：
对于问题2，求 \( x + y \) 的最小值：
为什么“乘1法”有效？
它就像一个代数魔术，通过引入一个值为1的、包含 \(x\) 和 \(y\) 的式子，强行将目标表达式展开成 “常数 + 变量部分” 的结构。而这个“变量部分”恰好是可以应用基本不等式的完美形式！
步骤3：应用基本不等式
现在，我们对上一步得到的“变量部分”使用基本不等式。
对于问题1：
对于问题2：
步骤4：整合求解，得出最终答案
最后一步，我们将常数项与变量部分的最小值相加，得到整个表达式的最值，并根据题意回答问题。
对于问题1：
题目要求 \(m \le \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) 恒成立。这意味着 \(m\) 必须小于或等于 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) 的最小值。因此，\(m\) 的取值范围是 \( (-\infty, 3 + 2\sqrt{2}] \)。
对于问题2：
别忘了“取等条件”！
虽然解题过程中不一定需要写出，但心中要有数。基本不等式能取到等号，是“最小值”存在的保障。
- 问题1中，当 \( \frac{2y}{x} = \frac{x}{y} \) 时取等。
- 问题2中，当 \( \frac{x}{y} = \frac{4y}{x} \) 时取等。
你可以将取等条件代入原约束方程，验证此时的 \(x, y\) 是否存在且为正数。