根的分布｜必修1

穿根定理与零点存在性

这个知识点非常核心，通常被称为“根的分布”或“零点存在性定理的应用”。

对于一个连续函数（尤其是二次函数），如果它在区间 \( [m, n] \) 的两个端点处的函数值 \(f(m)\) 和 \(f(n)\) 异号，即 \( f(m)f(n) < 0 \)，那么函数图像必然会穿过x轴，意味着在开区间 \( (m, n) \) 内至少存在一个实数根。

这个思想是解决“方程的根在某个指定区间内”这类问题的关键。通过分析函数在特定点的函数值符号，我们可以反推出参数需要满足的条件。

关键总结

简单来说，就是利用端点函数值的正负性来“框住”函数零点的位置。

如果一个根在区间 \((m, n)\) 内，则必然有 \( f(m)f(n) < 0 \)。
反之，如果 \( f(m)f(n) < 0 \)，则在 \((m, n)\) 内必有根。

例题一：利用根的分布推导并证明不等式

题目：已知二次函数 \( f(x) = ax^2 + 4x + b \) (其中 \( a < 0 \))。关于 \( x \) 的方程 \(f(x)=x\) 的两实根为 \( \alpha, \beta \)。若 \( \alpha < 1 < \beta < 2 \)，求证：方程 \( f(x)=0 \) 的两实根 \( x_1, x_2 \) 满足 \( (x_1 + 1)(x_2 + 1) < 7 \)。

步骤1：转化问题

\( \alpha, \beta \) 是方程 \( f(x)=x \) 的根，即 \( ax^2 + 4x + b = x \) 的根。我们构造一个新函数 \( g(x) = f(x) - x = ax^2 + 3x + b \)。那么 \( \alpha, \beta \) 就是方程 \( g(x) = 0 \) 的两个根。

步骤2：应用“根的分布”思想

题目条件 \( \alpha < 1 < \beta < 2 \) 告诉了我们 \( g(x)=0 \) 的两个根 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 相对于点 1 和 2 的位置关系。

\( \alpha < 1 < \beta \) 意味着根 1 位于两根之间。由于函数 \( g(x) \) 的二次项系数 \( a<0 \) (抛物线开口向下)，函数图像在两根之间的部分位于x轴上方。因此，\( g(1) \) 必须为正数。
\[ \begin{aligned} & g(1) = a(1)^2 + 3(1) + b > 0 \\ & \implies a + b + 3 > 0 \\ & \implies a + b > -3 \quad (条件①) \end{aligned} \]
\( \beta < 2 \) 意味着根 2 位于较大根 \( \beta \) 的右侧。由于抛物线开口向下，函数图像在较大根右侧的部分位于x轴下方。因此，\( g(2) \) 必须为负数。
\[ \begin{aligned} & g(2) = a(2)^2 + 3(2) + b < 0 \\ & \implies 4a + b + 6 < 0 \\ & \implies 4a + b < -6 \quad (条件②) \end{aligned} \]

步骤3：推导参数的关键性质

从条件①和②可以得到 \( b > -a - 3 \) 和 \( b < -4a - 6 \)。因此，我们有：

\[ \begin{aligned} & -a - 3 < -4a - 6 \\ & \implies 3a < -3 \\ & \implies a < -1 \end{aligned} \]

这是由根的分布推导出的一个至关重要的隐藏条件。

步骤4：证明目标不等式

我们要证明 \( (x_1 + 1)(x_2 + 1) < 7 \)。其中 \( x_1, x_2 \) 是原方程 \( f(x) = ax^2 + 4x + b = 0 \) 的根。根据韦达定理，我们有 \( x_1 + x_2 = \frac{-4}{a} \) 和 \( x_1x_2 = \frac{b}{a} \)。

将目标式展开并代入韦达定理：

\[ \begin{aligned} (x_1 + 1)(x_2 + 1) &= x_1x_2 + (x_1 + x_2) + 1 \\ &= \frac{b}{a} - \frac{4}{a} + 1 \\ &= \frac{b-4}{a} + 1 \end{aligned} \]

所以，证明目标等价于证明 \( \frac{b-4}{a} + 1 < 7 \)，即 \( \frac{b-4}{a} < 6 \)。

由于我们已经推导出 \( a < -1 \) (即 \( a \) 是负数)，不等式两边同乘以 \( a \) 需要改变不等号方向。

因此，原不等式等价于证明： \( b - 4 > 6a \iff b - 6a > 4 \)。

现在我们来证明 \( b - 6a > 4 \)。利用我们已有的条件 \( b > -a - 3 \)：

\[ \begin{aligned} b - 6a &> (-a - 3) - 6a \\ &= -7a - 3 \end{aligned} \]

接下来只需证明 \( -7a - 3 > 4 \)，这等价于 \( -7a > 7 \)，即 \( a < -1 \)。这个条件正是我们在步骤3中推导出的关键性质。因此，\( b - 6a > 4 \) 成立，原命题得证。

例题二：利用根的分布求解参数范围

题目：已知二次函数 \( f(x) = x^2 - (3-t)x + 2+t \)。若关于 \( x \) 的方程 \(f(x)=0\) 在区间 \( [0, 2] \) 上有且仅有一个实数根，求实数 \( t \) 的取值范围。

“在区间 \( [0, 2] \) 上有且仅有一个实数根”是一个复杂的条件，需要分情况讨论，其中最主要的情况就是运用“穿根”思想。

情况一：一个根在开区间 (0, 2) 内，另一个根在区间外

这正是“穿根定理”的典型应用。函数 \( f(x) \) 在 0 和 2 两点的函数值必然异号。首先计算端点值：

\( f(0) = 2+t \)
\( f(2) = 4 - 2(3-t) + 2+t = 4 - 6 + 2t + 2 + t = 3t \)

根据穿根定理，我们有 \( f(0)f(2) < 0 \)：

\[ (2+t)(3t) < 0 \implies -2 < t < 0 \]

情况二：根恰好是区间的端点

若 0 是一个根：
\( f(0) = 0 \implies 2+t = 0 \implies \mathbf{t = -2} \)。
此时方程为 \( f(x) = x^2 - 5x = x(x-5) = 0 \)，两根为 0 和 5。其中 0 在区间 \( [0, 2] \) 内，5 不在。符合“有且仅有一个实数根”的条件，所以 \( t = -2 \) 成立。
若 2 是一个根：
\( f(2) = 0 \implies 3t = 0 \implies t = 0 \)。
此时方程为 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0 \)，两根为 1 和 2。两个根都在区间 \( [0, 2] \) 内，这与“有且仅有一个”矛盾，故 \( t=0 \) 不满足条件。

情况三：在区间 [0, 2] 内有重根

这意味着抛物线的顶点恰好在 \( [0, 2] \) 区间的x轴上。

判别式 \( \Delta=0 \)：
\[ \begin{aligned} \Delta &= (3-t)^2 - 4(2+t) \\ &= t^2 - 6t + 9 - 8 - 4t \\ &= t^2 - 10t + 1 = 0 \end{aligned} \]

解得 \( t = 5 \pm 2\sqrt{6} \)。
顶点横坐标（即重根的值）必须在区间 \( [0, 2] \) 内：
顶点横坐标为 \( x_s = \frac{3-t}{2} \)。
- 当 \( t = 5 - 2\sqrt{6} \approx 0.1 \) 时，\( x_s = \frac{3 - (5-2\sqrt{6})}{2} = \sqrt{6} - 1 \approx 1.45 \)。因为 \( 1.45 \in [0, 2] \)，所以这种情况符合条件，\( \mathbf{t = 5 - 2\sqrt{6}} \) 是一个解。
- 当 \( t = 5 + 2\sqrt{6} \approx 9.9 \) 时，\( x_s = \frac{3 - (5+2\sqrt{6})}{2} = -1-\sqrt{6} \)，不在 \( [0, 2] \) 内，舍去。

综合结论

将所有符合条件的情况取并集：\( (-2, 0) \cup \{-2\} \cup \{5 - 2\sqrt{6}\} \)。

最终答案为：\( t \in [-2, 0) \cup \{5 - 2\sqrt{6}\} \)。