利用参数方程（三角换元）求最值
在处理与圆、椭圆等二次曲线相关的最值问题时，点 \(P(x, y)\) 的坐标受到曲线方程的约束，这使得问题涉及两个变量，处理起来较为复杂。“三角换元”（或称参数方程法）是一个极其强大的工具，它能巧妙地解决这个问题。
其核心思想是：利用三角函数的性质，将曲线上的点 \(P(x, y)\) 的两个坐标变量，用一个单一的角参数（如 \(\alpha\)）来表示。例如，对于椭圆 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，我们可以令 \(x = a\cos\alpha, y = b\sin\alpha\)。这样，一个关于 \(x, y\) 的二维最值问题，就成功转化为了一个关于 \(\alpha\) 的一维三角函数最值问题，从而大大简化了计算。
三角换元的核心优势
降维打击：将两个变量 (\(x, y\)) 的问题，转化为单个变量 (\(\alpha\)) 的问题。
核心例题
题目：已知椭圆 \( C: \frac{x^2}{5} + y^2 = 1 \) 及直线 \( l: x - 2y - 4 = 0 \)。设点 \( P \) 为椭圆 \( C \) 上的动点，求点 \( P \) 到直线 \( l \) 的距离 \( d \) 的最小值 \( d_{min} \)。
步骤1：用三角函数表示点P的坐标
首先，我们将椭圆方程 \( \frac{x^2}{5} + y^2 = 1 \) 改写为标准形式 \( (\frac{x}{\sqrt{5}})^2 + (y)^2 = 1 \)。
根据三角恒等式 \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \)，我们可以进行变量替换：
- 令 \( \frac{x}{\sqrt{5}} = \cos\alpha \)，则 \( x = \sqrt{5}\cos\alpha \)
- 令 \( y = \sin\alpha \)
这样，椭圆上任意一点 \( P \) 的坐标就可以用单一参数 \( \alpha \) 表示为 \( (\sqrt{5}\cos\alpha, \sin\alpha) \)。
步骤2：用含 \(\alpha\) 的式子表示距离
现在，问题转化成了求参数方程表示的点 \( P \) 到直线 \( l: x - 2y - 4 = 0 \) 的距离。我们直接使用点到直线的距离公式。
点到直线距离公式回顾：点 \( (x_0, y_0) \) 到直线 \( Ax+By+C=0 \) 的距离为 \( d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \)。
将点 \( P(\sqrt{5}\cos\alpha, \sin\alpha) \) 代入公式：
步骤3：求出分子表达式的取值范围
我们的目标是求 \( d \) 的最小值，这完全取决于分子 \( |\sqrt{5}\cos\alpha - 2\sin\alpha - 4| \) 的最小值。我们先集中处理其中的三角函数部分。
根据辅助角公式，形如 \( A\cos\alpha + B\sin\alpha \) 的表达式，其最值为 \( \pm\sqrt{A^2+B^2} \)。
- 对于表达式 \( \sqrt{5}\cos\alpha - 2\sin\alpha \)，我们有 \( A=\sqrt{5}, B=-2 \)。
- 其振幅（最大值）为 \( \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-2)^2} = \sqrt{5+4} = 3 \)。
- 所以，我们得到该部分的取值范围： \[ -3 \le \sqrt{5}\cos\alpha - 2\sin\alpha \le 3 \]
- 现在我们把常数 \( -4 \) 加回来，对整个不等式进行平移： \[ \begin{gathered} -3 - 4 \le \sqrt{5}\cos\alpha - 2\sin\alpha - 4 \le 3 - 4 \\ -7 \le \sqrt{5}\cos\alpha - 2\sin\alpha - 4 \le -1 \end{gathered} \]
- 最后取绝对值。一个在区间 \( [-7, -1] \) 内的数，其绝对值的最小值为 \( |-1| = 1 \)。
因此，分子 \( |\sqrt{5}\cos\alpha - 2\sin\alpha - 4| \) 的最小值为 \( 1 \)。
步骤4：计算最终的最小距离
将分子的最小值代入步骤2得到的距离公式中，即可求得距离 \( d \) 的最小值。