使用向量法求点到平面的距离（计算器技巧）

在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见题型。传统方法计算量较大，但借助科学计算器的向量功能，我们可以快速、准确地得到答案。下面是详细的操作步骤。

步骤1：准备工作 - 定义坐标

首先，我们需要确定题目中四个关键点的空间坐标：

• 平面上的点 \( A = (A_x, A_y, A_z) \)
• 平面上的点 \( B = (B_x, B_y, B_z) \)
• 平面上的点 \( C = (C_x, C_y, C_z) \)
• 平面外的点 \( P = (P_x, P_y, P_z) \)

步骤2：构造平面内的两个向量

为了描述这个平面，我们需要平面上的两个不共线的向量。通常我们选取由 \( A \) 点出发的两个向量：

步骤3：计算平面的法向量 \( \vec{n} \)

平面的法向量 \( \vec{n} \) 垂直于平面上的所有向量，可以通过 \( \vec{AB} \) 和 \( \vec{AC} \) 的叉积（Cross Product）得到。

叉积的计算公式如下（以 \( \vec{AB} = (u_1, u_2, u_3) \) 和 \( \vec{AC} = (v_1, v_2, v_3) \) 为例）：

你也可以直接在科学计算器中利用向量功能计算叉积。例如，若令：

• 向量 \( \mathbf{VctA} = (1, 2, 3) \)
• 向量 \( \mathbf{VctB} = (4, 5, 6) \)

在计算器中进入向量模式，依次输入两个向量后，使用“向量叉积”功能（通常表示为 \( \times \) ）即可求出法向量 \( \vec{n} \)。

按 = 键后，计算器会显示叉积结果向量 \( \vec{n} \)：

步骤4：使用计算器计算投影值

点到平面的距离公式为：\( d = \frac{|\vec{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \)。我们利用计算器的向量模式来计算公式的核心部分。

1. 进入计算器的“向量”模式。
2. 定义向量 VctA：这是从平面上任意一点指向点 \( P \) 的向量，我们使用 \( \vec{AP} = P - A \)。
3. 定义向量 VctB：这是我们在步骤3中计算出的法向量 \( \vec{n} \)。
4. 在计算器中输入公式：VctA · VctB ÷ Abs(VctB) 然后按 =。

步骤5：获取精确的最终答案（关键技巧）

上一步得到了一个小数，并且可能为负数。为了得到带根号的精确正值，我们使用以下技巧：

1. 将上一步的计算结果（Ans）储存到变量中。例如，按 STO → x 将结果存入变量 \( x \)。

2. 切换到常规的“计算”模式。
3. 输入表达式 \( \sqrt{x^2} \) 并按 =。计算器就会显示最终的、化简过的、带根号的正确答案！